两条时间轴：扩散模型与概率时间序列预测的五年（2021–2026）

1. 引言：问题与判据¶

多变量概率时间序列预测的任务陈述很短：给定 $D$ 维序列的历史 $\mathbf{x}^0_{1:t_0-1}$ 与协变量，输出未来若干步的联合预测分布，而非 $D$ 条边际、更非 $D$ 个点。当 $D$ 达到数百至数千（电力负荷、交通断面、组合层面的风险因子），任务的难点全部集中在一处：发射分布（emission distribution）的表达力。

2021 年之前的三类方案各有一种确定的失败方式。全协方差高斯的参数量为 $O(D^2)$、似然计算为 $O(D^3)$，且只能表达二阶相关；低秩 copula（GP-Copula 一系）以表达力换可计算性；归一化流（normalizing flows）虽有 tractable 似然，却受 Jacobian 行列式的结构约束，并且——这是一个几何陈述——连续可逆变换无法撕裂支撑集，因此会在不连通模式之间的连接处分配虚假密度 [1, 13]。

TimeGrad [1] 的回答是把当时刚刚在图像上成熟的去噪扩散模型（DDPM [2, 3]）改造为序列模型的条件发射头。五年之后，ICLR 2026 的 TEDM [29] 已把采样复杂度压到预测视界的线性，AAAI 2026 的 SimDiff [30] 则让扩散模型在最保守的判据——点预测均方误差——上与回归方法正面竞争。本文不打算穷举这五年的文献（系统综述见 Su 等 [34]），而是抽出两条线索，把"在坐标系里移动过位置"的论文串起来：

线索一（纵向）：文献的演化复演了理论的逻辑结构。score-based 生成建模的数学是一条单行道：先有得分函数绕开配分函数，才有朗之万采样兑现得分；先把离散链写成 SDE 的离散化，才有 Anderson 的反时方程；先有同边际的概率流 ODE，才有流匹配把参考测度变成设计变量；最后在 Fokker–Planck 的分布层，所有上述对象成为同一方程的不同投影。我们将看到，2021–2026 年的代表性论文恰好按这个顺序逐级兑现。

线索二（横向）：扩散时间与物理时间的关系。TimeGrad 把去噪指标 $n$ 安排在每个物理时刻 $t$ 的 $\mathbb{R}^D$ 截面内运行——两轴正交。此后五年，这两条轴经历了并置（CSDI）、同构利用（MG-TSD）、对齐（DYffusion、ARMD），直到 2026 年被 TEDM 合并为一条。这个几何关系是给任何一篇时序扩散论文定位的最快办法。

2. 理论底座：五个支点¶

为读后文，先备五件工具。每件只给一个公式与一句话；其完整推导、反例与数值实验，见 [M4AI, Ch. 17–21] 的系统处理——即该书第四部分 "Score Functions, Dynamics, and Diffusion"；其第 13–16 章先以概率、KL 散度与变分下界铺设密度视角，第 17 章起转入本文所需的几何视角。

支点一：得分函数与去噪得分匹配 [M4AI, Ch. 17]。得分函数 $s(\mathbf{x}) = \nabla_{\mathbf{x}} \log p(\mathbf{x})$ 是对数密度的局部几何，它不含配分函数——这正是能量模型可训练的原因。但真实数据集中在低维流形附近，流形上得分无定义；解法是加噪：对 $q_\sigma(\tilde{\mathbf{x}}|\mathbf{x}) = \mathcal{N}(\tilde{\mathbf{x}};\mathbf{x},\sigma^2\mathbf{I})$，有恒等式

于是"预测噪声 $\boldsymbol{\epsilon}$"与"估计得分"只差一个缩放 [4, 5, 6]。一切 $\epsilon$-参数化的扩散模型都是隐式的得分估计器。多尺度噪声（从大 $\sigma$ 到小 $\sigma$）则同时解决了流形问题与低密度区覆盖问题。

支点二：朗之万采样 [M4AI, Ch. 18]。有了得分还需要把它兑现为样本。未调整朗之万算法（ULA）

是"梯度上升 + 噪声注入"。噪声不可省略：去掉它，迭代塌缩到众数，得到的是优化器而非采样器。退火版本（annealed Langevin）让噪声尺度由大到小，与支点一的多尺度结构严丝合缝。

支点三：反时 SDE [M4AI, Ch. 19]。把离散加噪链看作 Euler–Maruyama 离散，其连续极限是方差保持（VP）SDE：$d\mathbf{x} = -\tfrac{1}{2}\beta(t)\mathbf{x}\,dt + \sqrt{\beta(t)}\,d\mathbf{W}$。Anderson（1982）[8] 给出其时间反演：

得分函数在此不是建模偏好，而是时间反演的代价：不知道 $\nabla\log p_t$ 就写不出反向方程。这一支点解释了支点一为何必须先行。

支点四：概率流 ODE 与流匹配 [M4AI, Ch. 20]。同一族边际分布 $\{p_t\}$ 可以由确定性动力学携带：

DDIM [9] 是其离散对应物；流匹配 [21, 22] 则更进一步，不再绕道 score 与 SDE，直接回归连接 $p_0$ 与 $p_1$ 的速度场——此时连接两端的路径乃至参考测度本身都成了设计变量，最优传输给出选择路径的准则。同一章的线性状态空间模型与零阶保持（ZOH）、双线性离散化，则是"离散算法 ↔ 连续过程"这一对偶原理在序列建模骨干上的另一次出场。

支点五：Fokker–Planck 与三层描述 [M4AI, Ch. 21]。路径层（样本轨迹）、方程层（SDE/ODE）之上还有分布层：密度 $p_t$ 服从 Fokker–Planck 方程

前向扩散在这一层是 OU 过程/热方程，闭式解给出任意时刻的边际并解释了为何终态收敛于标准高斯；反向问题在这一层是 ill-posed 的——除非提供 $\nabla\log p_t$，这就是"为什么必须学得分"的分布层一句话证明。

这五个支点之间的递进不是任意排列：每一个都以前一个为前提。下文将看到，文献在五年里按同一顺序把它们一一兑现。

3. 2021：三种初始条件¶

3.1 TimeGrad：正交两轴的确立¶

TimeGrad [1] 的全部结构可以写成一行因子分解：

其中 $\mathbf{h}_{t-1}$ 是 RNN 对历史与协变量的编码，而每个因子由一个条件 DDPM 实现：去噪网络 $\boldsymbol{\epsilon}_\theta(\mathbf{x}^n_t, \mathbf{h}_{t-1}, n)$ 比图像版本多吃一个条件输入，条件变分下界的推导原样通过。训练目标是熟悉的简化损失

原文明言其"与噪声条件得分网络（NCSN）的得分匹配损失同形"——这正是支点一的恒等式（系统推导见 [M4AI, Ch. 17]，其中 ELBO 一侧的来路见 [M4AI, Ch. 14–16]）。采样算法被作者直接命名为 annealed Langevin dynamics：$n>1$ 时注入噪声 $\mathbf{z}\sim\mathcal{N}(\mathbf{0},\mathbf{I})$，$n=1$ 时置 $\mathbf{z}=\mathbf{0}$，从噪声最强的扰动分布逐级降尺度——支点二的逐字工程实现，包括"噪声为何不可省"这一条 [M4AI, Ch. 18]。实验上，TimeGrad 在六个公开数据集（维度最高至 2000）上以 CRPS$_{\text{sum}}$ 全面刷新当时的最优结果；其消融显示扩散步数 $N$ 降到约 10 仍可用、约 100 最优——这条曲线是后来整个快采样文献的伏笔。

对它的诚实评估是：数学上零新结果。闭式前向边际、闭式后验、$\epsilon$-参数化全部来自 Ho 等 [2]；创新发生在组合层——把 DDPM 从无条件图像生成器改造成序列模型的通用概率发射头，绕开了高斯的 $O(D^2)/O(D^3)$、copula 的低秩与流模型的拓扑约束。但有一项结构贡献当时不显眼、五年后回看却是原点：TimeGrad 确立了两条时间轴的正交布局——去噪指标 $n$ 在每个物理时刻 $t$ 的 $\mathbb{R}^D$ 截面内运行，与时间方向垂直。此后所有时序扩散模型，都可以按它们如何处置这两条轴来定位。

3.2 CSDI：两轴并置¶

同年的 CSDI [10] 给出第一种替代处置：把整个时间 $\times$ 维度块当作一张"图"统一加噪去噪。扩散指标 $n$ 仍独立于 $t$，但其作用域从单个截面扩展到整块——两轴由正交变为并置。这个选择一举三得：预测成为"右侧整块缺失"的插补特例，插补与预测被统一；非自回归生成避免了逐步滚动的误差累积；块内的 Transformer 可以同时取时间与特征两个方向的注意力。代价是条件结构更重，且整块生成放弃了自回归外推的归纳偏置。自此，{自回归, 整块} 成为这一文献的第一个分类轴。

3.3 ScoreGrad：离散到连续¶

ScoreGrad [11] 把 TimeGrad 的离散链走到其连续极限：前向写成条件 SDE，采样即数值求解反时 SDE——支点三 [M4AI, Ch. 19] 的逐字实现，作者亦自我定位为"第一个用于时序预测的连续能量生成模型"。值得一记的是其代码库后续加入的条件 ODE 采样器：约 20 步采样、最高近 4.9 倍加速而无性能损失——这是支点四（概率流 ODE [M4AI, Ch. 20]）在时序上的最早实证之一。

至 2021 年底，坐标系的四个角已经立好：$\{$自回归, 整块$\}\times\{$离散, 连续$\}$。此后五年，是在这张图上的移动与折叠。

4. 2023–2024：引导项的语法¶

这一阶段几乎没有人改动前向过程；全部创新发生在反向漂移里加什么。统一的语法来自得分的线性可组合性：由贝叶斯公式，

条件化即在无条件得分上加一个引导项——这是支点一与支点二的联合推论（[M4AI, Ch. 17–18]）。各家的差别只在引导项的来源：

TimeDiff（Shen & Kwok，ICML 2023）[14] 在非自回归阵营内精化条件机制，以 future mixup 与自回归初始化缓解整块生成对时序归纳偏置的丢失。TSDiff（NeurIPS 2023）[15] 把可组合性用到最纯粹：无条件训练，推断期以观测自引导（observation self-guidance）注入条件——条件化被完全推迟到采样时刻，模型本体对下游任务保持不可知。SSSD（TMLR 2023）[16] 则替换骨干：以 S4 结构化状态空间承载长程依赖——读者会认出，这正是 [M4AI, Ch. 20] 中线性状态空间模型、对角化与 ZOH 离散化那一节在扩散语境下的落地。MG-TSD（ICLR 2024）[18] 观察到一个漂亮的同构：前向扩散"由细到粗"的退化方向，与时间序列做粗粒度平均的方向在结构上同构，于是用粗粒度序列直接监督中间噪声级——两轴未合并，但其同构性第一次被当作监督信号利用。TMDM（ICLR 2024）[19] 把 Transformer 先验深度嵌入条件两端；RATD（NeurIPS 2024）[20] 把检索增强搬进引导项：以嵌入检索从历史库中取出最相关的参考序列引导去噪，针对的是时序数据集体量不足、难例稀少与"引导缺位"这两个限制因素。

还有一篇出自相邻领域的论文必须记入这条线索：DYffusion（NeurIPS 2023）[17] 在时空场预报中把扩散步与时间插值直接耦合——预报与插值交替推进，扩散方向第一次与物理时间方向对齐。它面向气象而非通用基准，因此在时序社区内长期被低估；回看，它是两轴合并最早的信号。

5. 2025：参考测度的觉醒¶

2021–2024 年的问题是"如何更好地学反向"；2025 年的问题倒了过来：正向本来就该是什么？ 在支点五的语言里 [M4AI, Ch. 21]：两端分布固定之后，中间的路径测度从来不是公理，而是设计变量。

转折的载体是流匹配 [21, 22] 进入时序。TSFlow（ICLR 2025）[23] 给出了这一年最干净的论证：标准扩散把 $\mathcal{N}(\mathbf{0},\mathbf{I})$ 当作先验，但它与时序数据的分布相距太远，使传输路径不必要地长；改用核函数匹配时间结构的（条件）高斯过程作先验，配合最优传输路径与条件先验采样，无条件训练的模型即可胜任概率预测。这是五年里少见的数学层面的精化——它改的不是网络，而是参考测度；其背景正是 [M4AI, Ch. 20] 流匹配与最优传输一节所铺设的"路径选择"视角。同一思想的另一个实现方向是 NsDiff（ICML 2025）[24]：以 location-scale 形式的噪声让前向过程本身携带非平稳先验——先验不动，动的是噪声形态。ARMD（AAAI 2025）[25] 则更激进：以未来序列为初态、历史序列为终态，让滑动演化本身充当扩散路径——扩散方向被直接解释为时间方向，这是两轴合并的直接前奏。其余如 CGFM（条件引导流匹配做残差精修）与 D3U（ICLR 2025，确定性与不确定性解耦）[26] 各自占据工程生态位，不再展开。

当先验、噪声形态与路径都成为设计变量，剩下的问题只有一个：把整个设计空间摊开来系统地选。这正是 2026 年的故事。

6. 2026：两轴合并与设计空间¶

TEDM（ICLR 2026）[29] 把 Karras 等人在图像上建立的 EDM 方法论 [27]——将噪声调度、网络预条件化与采样器解耦为可独立优化的模块化设计空间——系统移植到时序预测，并在移植中完成了一个五年悬而未决的动作：把物理时间与扩散时间归并到同一条轴（原文："reducing the physical time and the diffusion time to the same axis"，并为此给出理论支撑）。两项直接后果：其一，噪声与信号的缩放可以从数据中经验计算，外部手工 schedule 被整体免除；其二，原本 $O(SH)$（$S$ 个扩散步 $\times$ $H$ 个预测步）的采样复杂度坍缩为预测视界的线性。轻量骨干加低延迟采样，使其成为这条线第一个在工程意义上"实时可部署"的方案。谱系上应当把 DYffusion（2023，时空场）[17]、rolling diffusion 与 ERDM（2025）[28]、ARMD（2025）[25] 列为其前驱：沿前导时间递增噪声、令扩散方向承载时间方向，是同一个想法的三次逼近；TEDM 把它做成了设计空间内的系统选择。五年前 TimeGrad 立起的正交两轴，在此折叠为一。

值得立刻指出折叠的代价：同轴化意味着每个物理步原则上只经过一次去噪，"每步内多次精炼"的自由度被交出。对强多峰、重尾的截面分布，这个折叠是否无损，目前没有分布层的回答——我们在 §8 把它列为开放问题。

同年的 SimDiff（AAAI 2026）[30] 开辟的是另一条战线：点预测。扩散模型五年来有一个不大体面的事实——分布预测的优势并未自动兑现为点预测精度，与回归式方法相比常常落后。SimDiff 的回应是做减法：单一 Transformer 兼任降噪器与预测器、完全端到端、不依赖外部预训练或联合训练的回归器；以归一化无关性增强对分布漂移的适应，以 median-of-means 聚合多次推断——把生成多样性反过来变成均方误差的资源。"Simpler yet better" 的标题姿态，本身就是对此前堆叠混合架构路线的一句批评。

7. 平行轨道与评估判据¶

与上述全部工作平行，2024 年起时序基础模型（Chronos [31]、Moirai [32]、TimesFM [33] 等）以"token 化 + 序列模型 + 大规模预训练"的配方占据了工业预测的主流，零样本能力是其压倒性卖点。但需要看清其概率输出的形态：多经分位数头或参数混合头给出逐维边际。边际不是联合分布——分位数头不交付 copula。凡是问题的输入本质上是截面联合结构的场合——风险聚合、组合层面的分位数、尾部共动、情景生成——扩散与流这条生成式路线仍然没有替代品。这也是它对金融语境的全部相关性所在，无需更多修辞。

这里必须对这五年的记分牌本身提出一个批评。自 TimeGrad 起，该文献的主指标是 CRPS$_{\text{sum}}$：先对 $D$ 个维度求和、再对和的一维分布计算 CRPS。它是 proper 的 [1, 35]——真分布在期望意义下得分最优——但 proper 不等于敏感：求和把 $D$ 维相依结构压缩成"和"的一维分布，凡是不改变和的分布的相依差异，它一概看不见。换言之，五年的 SOTA 竞赛，大半建立在一个对"多变量"这个定语恰好钝感的指标上。更有分辨力的替代品早已存在：能量分数（energy score）[35] 与 variogram score [36] 对联合结构敏感得多。在两轴合并、采样降为线性之后，这一文献下一步最便宜也最体面的改进，也许不是新模型，而是换记分牌。

8. 四个开放问题¶

（一）自回归滚动下的误差复合。 学到的得分带有估计误差，单步条件分布因此有可量化的偏差；自回归滚动 $H$ 步后，偏差如何随 $H$ 增长？反向方程对得分误差的敏感性在无条件设定下已有零星结果，但条件 + 滚动设定下没有定量理论。这本质上是反时 Fokker–Planck 问题 ill-posedness [M4AI, Ch. 21] 的条件版本：每一步都在求解一个适定性脆弱的反问题，并把解喂给下一步。

（二）参考测度的最优性。 TSFlow 用最优传输缩短路径，但"传输成本短"与"预测分数好"之间没有已证明的对应。给定一个预测损失（CRPS、能量分数），最优的先验与路径族是什么？这是一个干净的、目前完全敞开的变分问题。

（三）轴合并的信息代价。 TEDM 式同轴化在何种截面分布类下是无损的？多峰或重尾时，是否存在一个可判定的准则，告诉我们何时必须保留每步内的精炼步数 $S>1$？没有这个准则，"线性采样"在困难分布上只是一个未经审计的折扣。

（四）离散–连续的来回账目。 训练发生在离散步，分析发生在连续极限，部署又回到离散——这正是 [M4AI, Ch. 20] 所称的离散–连续对偶原理在工程中的实况。三层之间的误差（离散化误差、得分估计误差、滚动复合误差）各有零散的界，但没有统一的账目。把账算通，这条文献才算有了自己的数值分析。

9. 结语：文献复演理论¶

回收两条线索。

第一条是纵向的爬升。TimeGrad（2021）在算法层工作——退火朗之万的离散迭代；ScoreGrad（2021）升到过程层——反时 SDE；DDIM 式加速与流匹配把问题移入几何层——确定性流与传输路径；TSFlow、NsDiff 与 TEDM（2025–26）最终在测度与设计空间层做选择。读者若把这条爬升与 [M4AI] 第 17 至 21 章的章节顺序并排——得分与能量模型、朗之万采样、随机微分方程、概率流与连续极限、Fokker–Planck 与分布动力学——会发现两者逐级对应。这不是文献抄了教科书，而是这条逻辑链本来只有一种走法：教科书把它一次写完，领域用五年把它走完。

第二条是横向的折叠。$n$ 与 $t$：正交（TimeGrad）、并置（CSDI）、同构利用（MG-TSD）、对齐（DYffusion、ARMD）、合并（TEDM）。一张坐标，放下五年。

往下看，两条线索指向同一处。纵向上，理论中尚未被文献兑现的只剩分布层的定量控制——即 §8 的第一与第四问；横向上，轴已合并，再往前要么开新轴（多模态条件、跨频率、跨资产类的联合结构），要么回头偿还理论债。把路走完和把路写出来，从来是同一件事的两半。

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[M4AI] Xuan Xin（玄心）. Mathematics for AI and Machine Learning. 2026. 全书 21 章分四部分：线性代数（Ch. 1–10）、微分与优化（Ch. 11–12）、概率与信息论（Ch. 13–16，含 KL 散度、ELBO 与变分推断）、得分函数・动力学・扩散（Ch. 17–21）。本文引用其第四部分各章——第 17 章（得分函数与能量模型）、第 18 章（朗之万动力学与采样）、第 19 章（随机微分方程与伊藤微积分）、第 20 章（ODE、SDE 与算法的连续极限）、第 21 章（Fokker–Planck 与分布动力学）——并以 [M4AI, Ch. N] 标注。官网：https://math4ai.org/ ；Amazon：https://www.amazon.com/dp/B0GSXVFMLD

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- Moirai — Unified Training of Universal TS Forecasting Transformers（Salesforce，ICML 2024 Oral）— https://arxiv.org/abs/2402.02592
- TimesFM — A Decoder-only Foundation Model for Time-series Forecasting（Google，ICML 2024）— https://arxiv.org/abs/2310.10688
- Toto（Datadog）有两篇：2024 技术报告 https://arxiv.org/abs/2407.07874 ；2025 开源权重版（Toto-1.0 + BOOM 基准）1.51 亿参数、decoder-only、预训练语料为其他基础模型的 4–10 倍 — https://arxiv.org/abs/2505.14766

综述
- Su et al. — Diffusion Models for TS Forecasting: A Survey — https://arxiv.org/abs/2507.14507